Pisagor Teoremi Hesaplama nedir?
Duvara dayadığınız merdivenin ayağı duvardan 1,5 metre uzakta ve merdiven 6 metre uzunlukta; duvarda kaç metre yüksekliğe ulaşır? Ya da bahçenizin dikdörtgen zemini 5 × 7 metre ve çapraz kaç metre çekmeniz gerek? İkisi de dik üçgende Pisagor teoremiyle çözülür.
Hipotenüsü mü yoksa dik kenarı mı aradığınızı seçin, bilinen iki ölçüyü yazın. Araç eksik kenarı, alanı, çevreyi ve iki dar açıyı hesaplar; üç kenar da tam sayıysa bunu Pisagor üçlüsü olarak işaretler.
Teorem ve formüller
a ve b dik kenarlardır, c dik açının karşısındaki en uzun kenar olan hipotenüstür. Teorem yalnızca bir açısı 90° olan üçgenlerde geçerlidir.
Örnek: 5 × 7 metrelik zeminin köşegeni
Hipotenüs seçip a = 5, b = 7 girin: c = √(25 + 49) = √74 = 8,602325 metre. Alan 17,5, çevre 20,602325'tir. 5 metrelik kenarın karşısındaki açı 35,5377°, 7 metrelik kenarın karşısındaki açı 54,4623°'dir; ikisinin toplamı 90° eder. Köşegen tam sayı olmadığı için araç “Pisagor üçlüsü mü?” satırında hayır gösterir.
Örnek: Merdivenin ulaştığı yükseklik
Bilinmeyen olarak dik kenarı seçin; hipotenüs olarak merdiven boyunu, bilinen dik kenar olarak duvara olan uzaklığı yazın. Uzunluk 13 ve uzaklık 5 olsaydı yükseklik √(169 − 25) = 12 çıkardı. Bu tam sayı sonuç sizi şaşırtmasın: 5-12-13 klasik bir Pisagor üçlüsüdür. Merdiven 6 m, uzaklık 1,5 m ise yükseklik √(36 − 2,25) = 5,81 m olur; hipotenüs her zaman dik kenardan uzun olmak zorundadır.
Bilinen Pisagor üçlüleri
Bu üçlülerin tam katları da üçlüdür: 3-4-5'in iki katı 6-8-10'dur. İnşaatta köşenin dik olup olmadığını denetlemek için 3-4-5 oranı sık kullanılır.
| a | b | c | Doğrulama |
|---|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 | 9 + 16 = 25 |
| 5 | 12 | 13 | 25 + 144 = 169 |
| 8 | 15 | 17 | 64 + 225 = 289 |
| 7 | 24 | 25 | 49 + 576 = 625 |
| 20 | 21 | 29 | 400 + 441 = 841 |
Günlük hayatta kullanım alanları
- Dikdörtgen bir zeminin veya ekranın köşegeni.
- Merdivenin duvara dayanma yüksekliği.
- Harita üzerinde iki nokta arasındaki düz mesafe (yatay ve dikey farktan).
- Çatı eğiminde rafter (mertek) boyu.
Sık yapılan hatalar
- Hipotenüsü dik kenar sanmak: karesi alınıp toplanan iki kenar dik kenarlardır; en uzun kenar c'dir.
- Kareleri almadan toplamak: 3 + 4 = 7 değil, 9 + 16 = 25 ve c = 5'tir.
- Dik açı olmayan üçgene uygulamak: genel üçgenlerde kosinüs teoremi gerekir.
- Hipotenüsü dik kenardan kısa girmek: araç bu durumda “Hipotenüs, dik kenardan uzun olmalıdır” uyarısı verir.
- Birimleri karıştırmak: bir kenar cm, diğeri m ise önce aynı birime çevirin.
Sık sorulan sorular
Pisagor teoremi nedir?
Dik üçgende iki dik kenarın karelerinin toplamı hipotenüsün karesine eşittir: a² + b² = c².
Hipotenüs hangi kenardır?
Dik açının karşısındaki ve üçgenin en uzun kenarıdır.
Pisagor üçlüsü nedir?
a² + b² = c² eşitliğini sağlayan üç pozitif tam sayıdır. Örnekler 3-4-5, 5-12-13 ve 8-15-17'dir.
Araç açıları nasıl hesaplıyor?
a kenarının karşısındaki açı, arktanjant(a/b) formülüyle derece olarak bulunur. Diğer açı 90°'den çıkarılarak hesaplanır.
Dikdörtgenin köşegenini bulabilir miyim?
Evet. Dikdörtgenin iki kenarını dik kenar olarak girin; hipotenüs köşegen uzunluğudur.