Faktöriyel Hesaplama nedir?
Bir sırada oturan 5 kişi kaç farklı şekilde dizilebilir? 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120. Peki 10 kişi? 3.628.800. Sayı büyüdükçe sonuç hızla uçuyor: 52 kartlık bir deste yaklaşık 8,07 × 10⁶⁷ farklı sırayla karıştırılabilir.
Bu çarpıma faktöriyel denir ve n! ile yazılır. Sayıyı girin; araç BigInt ile kesin sonucu, basamak sayısını ve çok büyük sayılarda ilk rakamları verir. 0'dan 1000'e kadar tam sayılar desteklenir.
Faktöriyel formülü
Her faktöriyel bir öncekinden türetilir: n! = n × (n−1)!. Tanım gereği 0! = 1'dir. Örneğin 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120.
İlk faktöriyel değerleri
| n | n! |
|---|---|
| 0 | 1 |
| 1 | 1 |
| 2 | 2 |
| 3 | 6 |
| 4 | 24 |
| 5 | 120 |
| 6 | 720 |
| 7 | 5.040 |
| 8 | 40.320 |
| 9 | 362.880 |
| 10 | 3.628.800 |
Faktöriyel ne kadar hızlı büyür?
Bazı hesap makineleri 69! civarında taşar; 70! yaklaşık 1,19785 × 10¹⁰⁰ olduğundan sonuç ekrana sığmaz.
| n | n! | Basamak sayısı |
|---|---|---|
| 12 | 479.001.600 | 9 |
| 13 | 6.227.020.800 | 10 |
| 20 | 2.432.902.008.176.640.000 | 19 |
| 25 | 1,55112 × 10²⁵ | 26 |
| 52 | 8,06581 × 10⁶⁷ | 68 |
| 100 | 9,33262 × 10¹⁵⁷ | 158 |
Örnek: 52 kartlık deste
Desteyi karıştırmanın 52! = yaklaşık 8,06581 × 10⁶⁷ yolu vardır, yani 68 basamaklı bir sayı. Bu kadar büyük bir sayı karşısında iyi karıştırılmış bir destenin sırasının daha önce hiç var olmamış olması büyük olasılıktır.
Örnek: 100!'in sonunda kaç sıfır var?
Sondaki sıfırlar 10 = 2 × 5 çarpanlarından gelir ve 5'ler daha az olduğundan onları sayarız. 100'e kadar 5'in katları 20, 25'in katları 4 tanedir: 20 + 4 = 24. Yani 100! sayısı 24 sıfırla biter. Aynı yöntemle 10! için 10 ÷ 5 = 2 sıfır bulursunuz (3.628.800).
Faktöriyel nerelerde karşımıza çıkar?
Sıralama sayma (kaç farklı dizilim), olasılık hesapları, kombinasyon ve permütasyon formülleri ile algoritma analizinde faktöriyel kullanılır. Gezgin satıcı probleminde 15 şehri dolaşmanın yolları bile 15! = 1,3 trilyonu aşar; bu yüzden tüm yolları denemek pratik değildir.
Sık yapılan hatalar
- 0! değerini 0 sanmak: 0! = 1'dir.
- Toplama ve çarpmada dağıtmaya çalışmak: 5! + 3! = 126 olur; 8! (40.320) değildir. (2n)! de 2 × n! değildir.
- Büyük faktöriyelleri sadeleştirmeden hesaplamak: 10!/8! = 10 × 9 = 90 olarak elle kolayca çözülür.
- Negatif veya ondalık sayı girmek: faktöriyel yalnızca negatif olmayan tam sayılar için tanımlıdır.
- Permütasyon ile karıştırmak: n elemanın tamamını dizmek n!, r tanesini seçerek dizmek P(n, r) = n!/(n−r)!.
Sık sorulan sorular
0 faktöriyel neden 1?
Boş çarpımın değeri 1 olarak tanımlanır. Ayrıca kombinasyon formüllerinin tutarlı çalışması için de 0! = 1 olmalıdır: C(n, 0) = n! ÷ (0! × n!) = 1.
Negatif sayıların faktöriyeli var mı?
Hayır; faktöriyel yalnızca negatif olmayan tam sayılar için tanımlıdır. Gama fonksiyonu gibi genellemeler daha ileri bir konudur.
Faktöriyel neden kombinasyonda kullanılır?
n farklı elemanın sıralamaları n! tane olduğundan, sıranın önemli olmadığı seçimlerde fazla sayım r! ve (n−r)! ile bölünerek giderilir.
Çok büyük faktöriyellerin yaklaşık değeri bulunur mu?
Evet. Stirling yaklaşımı n! ≈ √(2πn) × (n/e)ⁿ, büyük n için hızlı bir tahmin verir. Kesin değer gerektiğinde bu araçtaki gibi büyük tam sayı aritmetiği kullanılır.
En büyük girilebilen sayı kaç?
1000. 1000! yaklaşık 2.568 basamaklı bir sayıdır.