Kombinasyon Hesaplama nedir?
10 kişilik ekipten 3 kişilik bir komite kurulacak; kaç farklı komite çıkar? Ali, Ayşe, Can ile Can, Ayşe, Ali aynı komite olduğundan sıralama önemli değil. Cevap 120.
Bu tür “kaç farklı seçim” sorularına kombinasyon denir ve C(n, r) ile gösterilir. Toplam eleman sayısı n ile seçilecek eleman sayısı r'yi girin; araç büyük sayılarda da kesin sonucu verir.
Kombinasyon formülü
Hızlı hesap için pay ve paydadaki ortak çarpanlar sadeleştirilir: C(10, 3) = (10 × 9 × 8) ÷ (3 × 2 × 1) = 120.
Örnek: Altı sayı seçmeli oyun kuponu
49 sayıdan 6 sayı seçilen bir oyunda tek bir kolonun C(49, 6) = 13.983.816 farklı hali vardır. Yani belirli bir kolonun tutma ihtimali yaklaşık 14 milyonda birdir. Sayıların hangi sırayla çekildiği önemli olmadığından kombinasyon kullanılır.
Örnek: El sıkışma ve poker eli
20 kişilik odada herkes birbirinin elini sıkarsa C(20, 2) = 190 el sıkışma olur. 52 kartlık desteden 5 kart çekmenin C(52, 5) = 2.598.960 yolu vardır; bu sayı poker ellerinin toplam sayısıdır.
Simetri ve Pascal üçgeni
C(n, r) = C(n, n−r) olduğundan C(10, 3) ile C(10, 7) aynıdır (ikisi de 120). n = 6 için Pascal üçgeninin satırı şöyledir:
| r | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| C(6, r) | 1 | 6 | 15 | 20 | 15 | 6 | 1 |
Kombinasyon ve permütasyon farkı
Permütasyonda sıra önemlidir, kombinasyonda önemli değildir. P(n, r) = C(n, r) × r! ilişkisi vardır: P(10, 3) = 120 × 6 = 720.
Sık yapılan hatalar
- Sıranın önemli olduğu soruda kombinasyon kullanmak: yarışta ilk üç sıra, şifre ve plaka permütasyondur.
- Aynı elemanın tekrar seçilebildiği durumda C(n, r) kullanmak: tekrarlı seçimde C(n + r − 1, r) gerekir. Örneğin 3 çeşit dondurmadan 5 top almanın C(7, 5) = 21 yolu vardır.
- r değerini n'den büyük girmek: böyle bir seçim yapılamaz.
- “En az bir” sorularını doğrudan saymak: önce toplam seçimi hesaplayıp istenmeyen durumu çıkarmak çoğu zaman daha kısadır.
Sık sorulan sorular
C(n,0) ve C(n,n) kaçtır?
İkisi de 1'dir; hiçbir şey seçmenin ya da hepsini seçmenin tek yolu vardır.
Kombinasyon sonucu neden kesirli çıkmaz?
C(n, r) her zaman tam sayıdır; çünkü r ardışık sayının çarpımı r! ile her zaman bölünür.
Tekrarlı kombinasyon nasıl hesaplanır?
n türden r tane seçilirken tekrar serbestse C(n + r − 1, r) kullanılır. Bu sayfadaki araçta n yerine n + r − 1'i girerek hesaplayabilirsiniz.
Büyük sayılarda sonuç neden bilimsel gösterimle yazılıyor?
24 basamağı geçen sonuçlar okunabilirlik için 1,23456 × 10ⁿ biçiminde kısaltılır; hesap yine de tam sayı aritmetiğiyle yapılır.