İkinci Derece Denklem Hesaplama nedir?
x² − 5x + 6 = 0 denkleminin kökleri 2 ve 3'tür, ama katsayılar 2x² + 4x + 5 gibi uyumsuz olduğunda çarpanlara ayırmak işe yaramaz. O zaman Δ = b² − 4ac değerine bakılır: pozitifse iki gerçek kök, sıfırsa tek kök, negatifse gerçek kök yoktur.
a, b ve c katsayılarını girin; araç diskriminantı, kökleri, kökler toplamı ve çarpımını, parabolün tepe noktasını ve açılış yönünü verir. Δ negatifse karmaşık (sanal) kökler a ± bi biçiminde gösterilir. Aşağıda formül, iki çözümlü örnek ve sık yapılan hatalar var.
Formül ve diskriminant
Katsayılar a (x² önündeki), b (x önündeki) ve c (sabit terim) olarak okunur. a sıfır olamaz; sıfırsa denklem birinci derecedendir ve araç x = −c/b çözümünü hata mesajında söyler.
Δ'nın üç durumu
| Diskriminant | Kökler | Parabol |
|---|---|---|
| Δ > 0 | İki farklı gerçek kök | x eksenini iki noktada keser |
| Δ = 0 | Çakışık (çift katlı) tek kök | x eksenine tepe noktasında teğettir |
| Δ < 0 | İki karmaşık kök, gerçek kök yok | x eksenini kesmez |
Örnek: x² − 5x + 6 = 0
a = 1, b = −5, c = 6 girildiğinde Δ = 25 − 24 = 1 çıkar. Kökler x₁ = 2 ve x₂ = 3'tür. Kökler toplamı −b/a = 5, çarpımı c/a = 6'dır; toplamla çarpımın denklemin katsayılarıyla uyuşması çözümün doğruluğunu hızlıca kontrol etmenizi sağlar. Tepe noktası (2,5; −0,25), simetri ekseni x = 2,5'tir ve kollar yukarı açıldığı için en küçük değer −0,25'tir.
Örnek: 2x² + 4x + 5 = 0 ve karmaşık kökler
a = 2, b = 4, c = 5 için Δ = 16 − 40 = −24 çıkar. Negatif diskriminant gerçek kök olmadığı anlamına gelir; kökler −1 ± 1,224745i biçiminde karmaşıktır. Gerçek kısım −b/2a = −1, sanal kısım √24 ÷ 4 = 1,224745'tir. Parabolün tepe noktası (−1; 3) olduğundan en küçük değeri 3'tür ve x eksenine hiç değmez; bu yüzden gerçek kök yoktur.
Çift katlı kök: −x² + 6x − 9 = 0
a = −1, b = 6, c = −9 için Δ = 36 − 36 = 0'dır ve tek kök x = 3'tür. Katsayı a negatif olduğundan kollar aşağı bakar, tepe noktası (3; 0) en büyük değerdir ve parabol x eksenine yalnızca bu noktada değer. Denklem −(x − 3)² = 0 biçiminde yazılabilir.
Tepe noktası neden önemli?
Tepe noktasının x'i r = −b/2a, y'si k = c − b²/4a'dır. Atış hareketi, kâr-zarar maksimizasyonu ve alan problemlerinde en büyük ya da en küçük değeri doğrudan k verir. a pozitifse k en küçük, negatifse en büyük değerdir.
Sık yapılan hatalar
- Denklemi standart biçime getirmeden katsayı almak: 3x² = 5x − 2 ifadesini önce 3x² − 5x + 2 = 0 yapın; b = −5, c = 2 olur.
- İşaret hatası: b negatifken −b pozitif olur. b = −5 için −b = 5'tir.
- Δ negatif diye hesabın yanlış olduğunu düşünmek: Δ < 0 gerçek kök olmadığını söyler, bu geçerli bir sonuçtur.
- Karekökü tüm ifadeye uygulamak: √Δ yalnızca diskriminantı kapsar, −b ve 2a ayrıdır.
- a = 0 girmek: bu durumda denklem ikinci derece değildir.
Sık sorulan sorular
Diskriminant nedir?
Δ = b² − 4ac değeridir. İşareti köklerin sayısını ve türünü belirler: pozitifse iki gerçek, sıfırsa bir çift katlı, negatifse iki karmaşık kök vardır.
Karmaşık kök ne demek?
Eksi sayının karekökünü içeren köktür. i² = −1 olarak tanımlanır; Δ = −24 ise √Δ = 4,899i olur ve kökler a ± bi biçiminde yazılır.
Tepe noktası nasıl bulunur?
x koordinatı r = −b/2a'dır. y koordinatı bu değeri denklemde yerine koyarak ya da c − b²/4a formülüyle bulunur.
Çarpanlara ayırma ile bu yöntem aynı sonucu verir mi?
Evet. Kökler x₁ ve x₂ ise denklem a(x − x₁)(x − x₂) biçiminde yazılır. Çarpanlara ayırma yalnızca katsayılar uygun olduğunda kolaydır; formül her durumda çalışır.
Kökler toplamı ve çarpımı ne işe yarar?
Toplam −b/a, çarpım c/a olduğundan köklerin doğruluğunu hızlıca denetleyebilirsiniz. Ayrıca kökleri bulmadan toplam ve çarpım sorularını çözmenizi sağlar.