Permütasyon Hesaplama nedir?
10 atletin katıldığı bir yarışta ilk üç sıranın kaç farklı şekilde belirlenebileceğini hiç düşündünüz mü? Birinci 10, ikinci 9, üçüncü 8 olasılıktan çıkar: 10 × 9 × 8 = 720.
Sıranın önemli olduğu bu tür sorulara permütasyon denir ve P(n, r) ile gösterilir. n ve r değerlerini girerek sonucu alın; araç çok büyük sayılarda da kesin değeri hesaplar.
Permütasyon formülü
Pratikte n'den başlayıp r tane azalan sayıyı çarpmak yeterlidir: P(10, 3) = 10 × 9 × 8.
Örnek: Tekrarsız 4 haneli şifre
0-9 rakamlarıyla, hiçbir rakamı tekrarlamadan kurulan 4 haneli şifre sayısı P(10, 4) = 5.040'tır. Rakamlar tekrar edebilseydi 10⁴ = 10.000 olurdu. Tekrar izni olmayan kuralın saldırgana ne kadar az seçenek bıraktığı buradan görülür.
Örnek: 26 harften 3 farklı harfli kod
P(26, 3) = 26 × 25 × 24 = 15.600 farklı kod üretilebilir. 8 kişilik bir takımda kaptan, yardımcı ve sözcü seçimi için P(8, 3) = 336 farklı görev dağılımı vardır.
r büyüdükçe P(5, r)
P(n, n−1) ile P(n, n) her zaman eşittir; son elemanın yeri zaten belli olur.
| r | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| P(5, r) | 5 | 20 | 60 | 120 | 120 |
Tekrarlı ve dairesel permütasyon
Aynı elemandan birden fazla varsa n!/(n₁!·n₂!·…) formülü kullanılır. ANKARA'nın 6 harfinde 3 tane A olduğundan 6!/3! = 120 farklı dizilim vardır. MATEMATİK kelimesinde M, A ve T ikişer kez geçer; 9!/(2!·2!·2!) = 45.360 dizilim bulunur.
Yuvarlak bir masada n kişinin oturması (dönüşler aynı sayılırsa) (n−1)! tanedir. 8 kişi için 7! = 5.040.
Sık yapılan hatalar
- Sıra önemli değilken permütasyon kullanmak: komite ve kupon seçimi kombinasyondur.
- Tekrarlı elemanları farklıymış gibi saymak: ANKARA'yı 6! = 720 diye hesaplamak, aynı görünen A'ları ayırt etmek demektir.
- r > n girmek: seçilecek eleman sayısı toplamdan büyük olamaz.
- Şifre güvenliğinde “tekrar yok” kuralını artı sanmak: tekrar yasağı olası şifre sayısını azaltır, güvenliği düşürür.
Sık sorulan sorular
n elemanın tamamının permütasyonu kaçtır?
P(n, n) = n! olur. 8 kitabı rafa dizmenin 40.320 yolu vardır.
4 haneli şifre kaç farklı olabilir?
Rakamlar tekrar edebiliyorsa 10⁴ = 10.000, tekrar edemiyorsa P(10, 4) = 5.040.
Permütasyon ile kombinasyon arasında nasıl karar veririm?
Elemanları aynı seçip yerlerini değiştirince farklı bir sonuç ortaya çıkıyorsa permütasyon, aynı sonuç çıkıyorsa kombinasyon.
P(n,r) kombinasyonla nasıl ilişkilidir?
P(n, r) = C(n, r) × r!. Önce r elemanı seçersiniz, sonra onları r! farklı sırayla dizersiniz.